Логико-математические методы решения числовых ребусов

        Мячев А.А., МУК-21, Москва

 К вербальным (буквенным) и числовым ребусам (в отличие от чисто вербальных ребусов типа анаграмм, например, петарда, то есть адаптер, или накипь + лето = накопитель; twelve + one = eleven + two) можно отнести арифметические равенства.  В последних все или некоторые цифры заменены буквами (или значками в числовых ребусах) какого-либо одного или различных алфавитов (включая системы счисления) [1-3, 6]. Подобные ребусы представляют собой логико-математические задачи, в которых путем логических рассуждений и математических вычислений требуется расшифровать значение каждого символа и восстановить числовую запись. Причем перемена цифр (букв) чисел слева от равенства между собой, как правило, не является новым решением (при отсутствии ограничений). Ниже в качестве примеров приведены способы решения некоторых типичных тематических ребусов из системы комплексных вербальных ребусов, относящихся к логике, математике, информатике и основам мышления [1, 3, 4]. На этих  примерах рассматриваются основные обобщенные методы (способы) решения типичных ребусов различных видов.Можно выделить три основных вида таких ребусов, представленных в виде произведения, арифметической суммы, степени. Для каждого вида ребусов имеются некоторые общие правила их дешифровки (и разработки!).

Методы (способы) решения ребусов, представленных в виде произведения

1.       Нуль не может быть первой цифрой (ведущим).
2.       Если при умножении некоторого числа на однозначное получено исходное число, то множитель равен единице. Например, 1. А*Д = А (АДА – имя первой женщины программиста, в честь которой назван одних из самых мощных языков программирования, использовавшихся в США). 2. И*Л = И (ИЛИ – дизъюнкция, логическая функция).
3.       Если при умножении некоторого числа, не оканчивающего на нуль, на некоторое однозначное число, получен нуль в младшем разряде произведения, то младший разряд множимого и множителя есть пара чисел, одно из которых 5, а другое число четное.
Например, Б*А = ЙТ (А меньше Б, минимальное значение байта). 5*2=10.
4.       Если при умножении некоторого двузначного числа на некоторое однозначное число, большее 5, полученное произведение - двузначное число, тогда первая цифра множимого равна единице.
Например, РА*М = КА. 12*6 = 72.
5.       Произведение некоторого числа, не оканчивающего на нуль, на некоторое нечетное число дает последнюю цифру (букву), равную последней цифре множимого тогда, когда цифра равна 5.
Например, БИТ*9 = БАЙТ (Т не равно нулю, минимальный байт в кодировке ASCII с контролем по четности). 145*9 = 1205.
6.       Произведение некоторого числа, не оканчивающего на нуль, на некоторое число, последняя цифра которого равна последней цифре (букве) множимого, дает число, последняя цифра которого равна 5 или 1. Например, найти все решения у ребуса РЕ*ШЕ = НИЕ. 1) 15*25= 375. 2) 25*35 = 675. 3) 15*65 = 975. 4) 21*31 = 651 (верно для систем счисления (СС) с основанием большим 6 – например, 7-10 СС). 5) 21*41= 861.
7.       При расшифровке вербальных числовых ребусов имеется много других закономерностей, связанных с их особенностями. Без системного и целенаправленного перебора, как правило, решения не находятся. Причем число рассматриваемых вариантов зависит от уровня, умений и навыков логико-математической подготовки, изобретательности и сообразительности ученика.
Основные из этих закономерностей связаны с исходными цифрами множимого и множителя:
а) 2*К (К от единицы до четырех включительно) – не дает переноса, например,  МЕ*ДВ = ЕДЕВ, (ребус посвящен Медведеву П.А. – депутату Госдумы РФ от ЮЗО г. Москвы). Решение: 41*32 = 1312.
б) 2*6 = 2 - дает перенос, например, РА*М = КА. Решения: а) 12*6 = 72; б) 12*6 = 72) и т.д.
      Решения ребусов, у которых совпадают первые цифры n-разрядного множимого и (n+1)-разрядного произведения, и используется одноразрядный множитель (например, в «культовых» ребусах типа бит*К = байт, йог*К = йети) имеют свои особенности. В них используются способы, основанные на правилах умножения n-разрядных чисел на одноразрядное число, с получением (n+1)-разрядных чисел, у которых  при умножении обеспечивается перенос в старший разряд произведения. Причем число рассматриваемых возможных вариантов решения пропорционально уменьшается с уменьшением множителя.
Например, решением ребуса бит*К = байт (найти минимальное значение для 7-разрядного (в кодировке КОИ-7), 8-разрядного (в кодировке КОИ-8), 9-разрядного (в кодировке КОИ-8 с контролем по четности)) байта является: 148*7 = 1036. (Можно решить формально с помощью калькулятора и использованием приведенного в [6] способом уравновешивания).

Методы (способы) решения ребусов, представленных в виде сложения (произведения)

Большинство известных вербальных ребусов — это задачи на сложение. Причем ребусы имеют различную тематическую и национальную окраску. В последних ребусах часто используются особенности написания (транслитерации) цифр. Эти ребусы при одинаковых слагаемых можно представить в виде произведения.При решении подобных ребусов используются следующие основные способы, обеспечивающие быстрое, почти механическое (перебором) получение результата с использованием калькулятора или табличного процессора [6].
1.              Метод уравновешивания с использованием табличного способа оформления логических дедуктивных умозаключений (рассуждений). Метод основан на решении уравнения в неотрицательных целых различных числах (буквах), как правило, отличных от нуля. Эквивалентное (исходному уравнению) уравнение получается переносом всех неизвестных в левую часть уравнения в порядке убывания абсолютных величин коэффициентов. Коэффициенты подбираются таким образом, чтобы левая часть уравнения была наиболее близка к нулю. При этом коэффициенты для различных букв должны различаться.
2.              Метод постепенного изменения букв в порядке возрастания коэффициентов. При этом целесообразно использовать табличный способ оформления логических заключений.
3.             Метод наибольшего общего делителя (НОД). Метод применяется, если только наименьший из коэффициентов не равен 1. Метод используется совместно с методом постепенного изменения значения букв в порядке возрастания коэффициентов.
Например[6] , 1) EINS*5 = FUNF (нем., 1*5 = 5). Эквивалентный вид уравнения: 5000*E – 1001*F + 500*I – 100*U + 40*N + 5*S = 0.
Очевидно, что получаемая сумма должна делиться на НОД коэффициентов при последующих слагаемых. При небольшом числе итераций по изменению значения букв (отбрасывания  бесперспективных вариантов) и построении новой таблицы (изменением части первоначальной таблицы) получаем искомое решение: 1049*5 = 5245.
2) TWO + TWO = TWO*2 = FOUR (анг., 2+2 = 2*2 = 4). Искомое решение (минимальное значение выражения) определяется аналогичным способом: 765*2 = 1530.

Способы решения ребусов, представленных в виде степени числа

Большинство известных вербальных ребусов такого вида представляют собой закодированные названия городов (ПА  = РИЖ), а также отдельные слова, соответствующие числовому смыслу ребуса [1]. При решении таких ребусов к ним применимы некоторые способы, используемые при решении ребусов, представленных в виде произведения. Причем для этих ребусов характерны следующие основные особенности, выявленные при составлении системы комплексных ребусов (с различным числом и распределением букв в терминах) в области информатики [2, 4, 7].
1.             При использовании 2 или 8 в основании числа Х чаще всего для слов подходят степени:  3 (например, БИ =Т, 23  = 8), АД  = РЕС, 83 = 512, для пятибуквенных терминов по информатике с различными буквами, более 30), 4 (для четырехбуквенных терминов с различными буквами, более 20, например, БА = ЙТ, 42 = 16), 7 (например, АБ  = ЗАЦ, 27  = 128), 8 (например, ВЫ  = ВОД, 28= 256).
2.             При использовании в основании числа 2 степень 5 подходит только для четырехбуквенных терминов (очень редких), у которых первая буква совпадает с последней (ОК  = НО,  25  = 32), а 6 — для четырехбуквенных терминов (редких, в основном, английских терминов по информатике), у которых вторая буква совпадает с третьей (DO=OM, 26  = 64, популярная компьютерная игра; LO=OP, цикл, петля (тип интерфейса)) [7].
3.             При использовании в основании числа 3 чаще всего для четырехбуквенных слов подходят степени:  3,  у которых две первые буквы одинаковы, например, ВВ  = ОД (33  = 27),  4 — для четырехбуквенных терминов с различными буквами, более 20, например, ДИ  = СК, (34 = 81),  6 — для пятибуквенных терминов по информатике с различными буквами, более 30), например, АД  = РЕС, (36  = 729) [1, 2]. Очевидно, для некоторых ребусов имеются эффективные вариации и дополнения к методам, рассмотренным выше, для различных видов ребусов, решение которых не очевидно или не имеется, например, ДВА*ТРИ=ШЕСТЬ.

Способы решения числовых ребусов

Аналогичные способы решения вербальных ребусов применимы и для класса числовых ребусов, в которых для кодирования цифр применяется не буквенный символ (значок), заменяющий любую букву (чаще всего звездочка). Большинство задач этого класса представляют собой ребусы в виде произведения чисел (х – знак умножения), в которых требуется вместо звездочек подставить цифры. Решение этого класса ребусов требует, очевидно, меньшего количества логических высказываний (вариантов перебора), так в ребусе уже приведены некоторые цифры, упрощающее нахождение единственного решения.
Например, вербальный ребус РА*М = КА имеет следующие решения (без ограничивающих дополнительных условий) с использованием рассмотренных выше способов для ребусов, представленных в виде  произведения:  1) 12*6 = 72; 2) 16*2 = 32; 3) 15*3 = 45.
Аналогичный по формату числовой ребус **х6 = *2 имеет только один вариант решения. Логика и используемые способы решения:
1)      шесть больше пяти, поэтому число десятков  множимого равно единице; 2) число единиц множимого равно 2, так как если оно было бы равно 7 (7х6=42), то в этом случае имели бы:  17х6 = 102, то есть число трехзначное, что противоречит условию. Итак, решение: 12х6 = 72.

Примечание
Основные из учебных комплексов вербальных ребусов различной тематической направленности и сложности, на которых отрабатывались логико-математические способы их решения, разработаны совместно в рамках проектной деятельности учащимися и учителями в МУК-21 «Коньково».  Ребусы размещены в Интернет на сайтах и веб платформах общего назначения,  таких как «Энциклопедия криптоматики» (2003 г.), «Вербальная энциклопедия информатики» (2005 г.), «Развивающая вариативная информатика и математика» (2006 г.). Эти Интернет ресурсы поддерживаются, активизируются учащимися и используются штатно в образовательном процессе МУК-21. Они также используются и при проведении дистанционных викторин и олимпиад различного уровня в рамках экспериментальной деятельности МУК-21 в качестве городской экспериментальной площадки первого и второго (сетевого) уровней по теме «Школьное информационное пространство» и Опорной школы «Коньково» (ежегодно обучаются более 3000 учащихся по профилю информатика и информационные технологии).

Источники информации

  1. Энциклопедия криптозадач / Под ред. А.А.Мячева,  Сайт, МУК-21, 2003.
  2. Интеллектуальные игры в информатике / Д.М. Златопольский, - СПБ.: БХВ-Петербург, 2004.
  3. Вербальная энциклопедия информатики / Под ред. А.А.Мячева,  Сайт, МУК-21, 2005.
  4. Дистанционная развивающая информатика и математика / Под ред. А.А.Мячева,   Сайт МУК-21, ДРИМ-ЭК, 2006.
  5. Развивающая вариативная информатика и математика. Программа дополнительного образования / А.А. Мячев. — М.:, МУК-21, 2006.
  6. Решение ребусов на чашечных весах. И. Акулич, Квант, №6, 1992.
  7. Англо-русский словарь по информатике / А.А. Мячев / Энциклопедия персонального компьютера. — М.:, Кирилл и Мефодий, 1997.

 

 

Hosted by uCoz